В этом пункте мы вкратце опишем результаты большого статистического исследования каталога "Альмагеста", выполненного В.В.Калашниковым, Г.В.Носовским и А.Т.Фоменко в 1986-1988 годах. Эти результаты были опубликованы в нескольких научных статьях, в частности, в [411], [423]. Поскольку объем исследования велик, то мы издали книгу [430], специально посвященную геометрическим, статистическим и точностным свойствам звездного каталога "Альмагеста" и его частей. Здесь же мы лишь бегло очертив основные моменты и результаты нашего анализа.

Исследованию "Альмагеста" посвящены десятки современных работ. См., в частности, монографию известного современного американского астронома Роберта Ньютона "Преступление Клавдия Птолемея" [156], где проведен серьезный астрономический, математический и статистический анализ "Альмагеста". Выводы, полученные Робертом Ньютоном, оказались неожиданными. По его мнению, многие данные, собранные в "Альмагесте", в действительности подложны, кем-то фальсифицированы. Следовательно, нуждаются в коренном пересмотре многие устоявшиеся представления о месте и роли "Альмагеста" в истории науки. Следует отметить, что Р.Ньютон, по-видимому, не был знаком с существенно более ранними работами Н.А.Морозова на эту тему. Во всяком случае, в работах Р.Ньютона нет ссылок на исследования Н.А.Морозова.

При этом Р.Ньютон ни в коей мере не сомневается в том, что "Альмагест" составлен около начала н.э., поскольку, будучи астрономом, Р.Ньютон полностью доверял скалигеровской хронологии. Вкратце выводы Р.Ньютона звучат так.

1) Астрономическая обстановка на реальном небе около начала н.э. НЕ СООТВЕТСТВУЕТ астрономическому материалу, включенному в "Альмагест".

2) Имеющийся сегодня в нашем распоряжении "Альмагест" содержит в действительности не непосредственно наблюдавшиеся астрономические явления, а результат теоретических расчетов, выполненных на основе теоретических моделей. Затем эти теоретические вычисления были вписаны в "Альмагест" как якобы реальные астрономические наблюдения. Это - подлог, по мнению Р.Ньютона.

3) "Альмагест" не мог быть составлен в 137 году н.э., на чем настаивает скалигеровская хронология.

4) Следовательно, "Альмагест" был составлен в какую-то другую эпоху и нуждается в передатировке. Сам Р.Ньютон предлагал удревнить "Альмагест" на эпоху Гиппарха.

5) Р.Ньютон отмечает слова "Альмагеста", в которых сказано, что наблюдения были выполнены в эпоху правления римского императора Антонина Пия. Скалигеровская хронология относит правление этого императора к 138-161 гг.н.э. Следовательно, - считает Р.Ньютон, - отсюда автоматически вытекает, что автор "Альмагеста" (кто бы он ни был) заведомо лжет, поскольку эти "личные наблюдения" никоим образом не отвечают реальной астрономической обстановке II века н.э.

Р.Ньютон не ставил вопроса - можно ли указать такую историческую эпоху (быть может, значительно отличающуюся от скалигеровской датировки "Альмагеста", скажем, на несколько сотен лет), помещение в которую "Альмагеста" снимает все эти проблемы, или по крайней мере, большинство из них. Как мы увидим, попытка Р.Ньютона снять хотя бы некоторые противоречия путем опускания "Альмагеста" в эпоху Гиппарха к успеху не приводит.

Мы проверили вычисления Р.Ньютона и убедились в их надежности и правильности. Роберт Ньютон сформулировал свой вывод об "Альмагесте" следующими словами: "В этой книге рассказана ИСТОРИЯ ПРЕСТУПЛЕНИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К НАУКЕ... Я имею в виду преступление, совершенное ученым против своих коллег-ученых и учеников, предательство этики и чистоты своей профессии, преступление, которое навсегда лишило человечество основополагающей информации, относящейся к важнейшим областям астрономии и истории" [156], с.10.

Завершает свою книгу Р.Ньютон так: «Окончательные итоги. Все собственные наблюдения Птолемея, которыми он пользуется в "Синтаксисе" (то есть в "Альмагесте" - А.Ф.), насколько их можно было проверить, ОКАЗАЛИСЬ ПОДДЕЛКОЙ. Многие наблюдения, приписанные другим астрономам, также ЧАСТЬ ОБМАНА, СОВЕРШЕННОГО ПТОЛЕМЕЕМ... Само существование "Синтаксиса" привело к тому, что для нас потеряны многие подлинные труды греческих астрономов. А вместо этого мы получили в наследство лишь одну модель, да и то еще вопрос, принадлежит ли этот вклад в астрономию самому Птолемею... Становится ясно, что никакое утверждение Птолемея не может быть принято, если только оно не подтверждено авторами, полностью независимыми от Птолемея. ВСЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, В ИСТОРИИ ЛИ, АСТРОНОМИИ ЛИ, ОСНОВАННЫЕ НА "СИНТАКСИСЕ", НАДО ПЕРЕДЕЛАТЬ ЗАНОВО. Я не знаю, что могут подумать другие, но для меня существует лишь одна окончательная оценка: "Синтаксис" нанес астрономии больше вреда, чем любая другая когда-либо написанная работа, и было бы намного лучше для астрономии, если бы этой книги вообще не существовало. Таким образом, величайшим астрономом античности Птолемей не является, но он является еще более необычной фигурой: он самый удачливый обманщик в истории науки» [156], с.367-368.

В.В.Калашников, Г.В.Носовский и А.Т.Фоменко решили подойти к проблеме датировки "Альмагеста" с позиций, отличных от тех, на которых основывались упомянутые выше ученые. Не опираясь на их аргументы, нам удалось разработать новый независимый метод датировки звездных каталогов, не только "Альмагеста". Метод основан на геометрическом и статистическом анализе каталога, а также собственных движений звезд и их конфигураций.

Прежде чем перейти к более подробному рассказу о нашей собственной работе, задержимся на одной неудачной попытке датировки каталога "Альмагеста". В 1987 году как реакция на публикации А.Т.Фоменко [377] и [385] появилась работа Ю.Н.Ефремова и Е.Д.Павловской [71], где утверждалось, будто каталог "Альмагеста" можно датировать по собственным движениям звезд 13 годом н.э. с точностью до плюс-минус 100 лет. Фактически в работе [71] анализируются движения лишь двух звезд - Арктура и О²Эридана. Более того, датировка "Альмагеста", полученная в [71], основана лишь на звезде О² Эридана, поскольку датировка по Арктуру получилась совсем другая, а именно, 250 год н.э. См. [71].

Однако отождествление звезды О² Эридана с подходящей звездой из "Альмагеста" зависит от априорной датировки каталога. Дело в том, что эта звезда движется быстро и последовательно отождествляется с разными звездами из "Альмагеста". См. рис. 1.21).

Рис.1.21: Траектория реальной звезды, проходящей "мимо" положения звезды, указанного в "Альмагесте"

Итак, Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская фактически сначала предполагают, что каталог "Альмагеста" датируется началом н.э. На этом основании они выбирают подходящее отождествление для звезды 779. А затем, опираясь на это отождествление, "приходят к выводу", что "Альмагест" датируется началом н.э., то есть 13 годом н.э. плюс-минус 100 лет. Это, очевидно, порочный круг.

Перейдем к Арктуру - второй и последней звезде, обсуждаемой в [71]. Ее отождествление не вызывает сомнений, в "Альмагесте" она прямо названа "Арктур". Первоначальная датировка по Арктуру, полученная в работе [71], такова: 250 год н.э. Затем авторы "уточняют" ее и получают 310 год н.э. плюс-минус 360 лет. Однако они никак не оценивают точность своего "метода". В то же время эту точность нетрудно оценить. В работе [71] положение движущейся звезды, например Арктура, определяется относительно звезд ее окружения. Все звезды "Альмагеста" измерены с какими-то ошибками. Предположим на мгновение, что в "Альмагесте" звезды окружения Арктура измерены идеально точно, что, конечно, не так. Даже в этом случае при оценке точности метода ошибку в положении Арктура нельзя считать меньше чем 10', поскольку такова цена деления шкалы каталога "Альмагеста". При этом ошибка в дуговом расстоянии, используемом в [71], равна 14', поскольку такова гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами в 10'. Скорость собственного движения Арктура, - одной из самых быстрых звезд, - около 2" в год. Следовательно, расстояние в 14' Арктур проходит примерно за 420 лет. И это лишь грубая оценка точности снизу. В действительности же, реальная точность дугового определения Арктура в "Альмагесте" хуже 10', а тусклые звезды окружения скорее всего были измерены еще хуже, речь идет здесь о дуговых расстояниях по небесной сфере. Следовательно, реальная точность "метода" работы [71] по Арктуру значительно хуже 420 лет. Поэтому интервал возможных датировок, по "методу" [71], заведомо шире, чем интервал от 200 года до н.э. до 700 года н.э.

В [71] предлагается уточнение датировки по Арктуру, а именно, 310 год н.э. плюс-минус 360 лет. Для целей датировки в [71] используется метод наименьших квадратов. Элементарные вычисления, однако, показывают, что точность этого метода оценивается снизу величиной индивидуальной ошибки рассматриваемой быстрой звезды, деленной на скорость ее собственного движения. Эта оценка получается в предположении, что окружение рассматриваемой быстрой звезды измерено абсолютно точно. Учет неточности измерений в совокупности с небольшим числом звезд из окружения (например, авторы [71] выбирают из окружения Арктура 11 звезд) дает существенную прибавку к ширине интервала датировки. Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская без всяких оснований заменяют всюду неизвестную им индивидуальную ошибку на среднюю квадратичную. Кроме того, точность предлагаемого ими "метода" моделирования ошибок также ими не оценивается. А между тем он "работоспособен" лишь в том случае, если в результате случайных возмущений координаты звезд из "Альмагеста" станут близкими к истинным координатам. В результате влияния упомянутой индивидуальной ошибки такое попадание в окрестность истинных координат должно иметь малую вероятность и в любом случае должно быть оценено. В работах [71], [72] нет и намека на подобные оценки.

Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская утверждают в [71], будто результаты вычислений по другим быстрым звездам, - почему-то не приведенные в [71], - подтверждают выводы, основанные на анализе О² Эридана и Арктура. Однако в действительности это не так. Приведем лишь один яркий пример. Среди быстрых звезд, якобы обработанных авторами [71], содержится знаменитый яркий Процион. Наши исследования показали, что авторы [71] должны были бы, пользуясь своим методом, получить по Проциону датировку примерно X век н.э., которая никак не вяжется с их выводами.

Наконец, "метод" [71] существенно зависит от выбора звезд окружения исследуемой звезды. Мы проверили, как меняется датировка ("методом" работы [71]) по группе Арктура в зависимости от выбора разных звезд окружения. Оказалось, что при этом датировка колеблется от 1-го года н.э. до 1000 года н.э.

Таким образом, работы [71], [72] оказались некомпетентными.

Ю.Н.Ефремов и Е.Д.Павловская ссылаются на публикацию Е.С.Голубцовой и Ю.А.Завенягина [43], в которой также предпринята попытка датировки "Альмагеста" по собственным движениям звезд. Однако анализировать здесь работу [43] нет необходимости ввиду полной математической и астрономической беспомощности "метода", описанного в [43]. Достаточно сказать, что Е.С.Голубцова и Ю.А.Завенягин фактически трактуют случайные ошибки в "Альмагесте" как результат реального собственного движения звезд. Они предлагают считать, что "возможная ошибка датировки не превышает 150 лет" [43], с-75. Эта гипотеза фантастична. Наконец, они "датируют" "Альмагест" по Проциону 330 годом н.э.

Как видит читатель, проблема датировки "Альмагеста" достаточно трудна и требует тщательного анализа каталога. Перейдем теперь к нашим результатам.

В нашем исследовании мы сначала классифицируем ошибки, содержащиеся в каталоге, на три типа. Это - выбросы, систематические и случайные ошибки.

Выбросами мы называем грубые ошибки в координатах. Они достаточно легко обнаруживаются, и при расчетах соответству- ющей звезды не должны приниматься во внимание. Такие ошибки могли возникать при переписывании каталога копиистами.

Систематическими мы называем ошибки, которые могут быть получены единообразно либо для всего каталога, либо для больших его частей. Типичным примером такой ошибки служит неправильное определение наблюдателем положения эклиптики на небесной сфере. Подобные ошибки могут быть обнаружены статистически и затем компенсированы.

Случайными мы называем ошибки, которые принципиально не могут быть скомпенсированы. Например, это случайные ошибки измерений, не имеющие регулярной составляющей.

Излагаемые ниже методы направлены, таким образом, на то, чтобы очистить звездный каталог от выбросов, скомпенсировать систематические ошибки и попытаться датировать каталог в условиях наличия лишь случайных ошибок. Отметим, что мы классифицируем лишь сами погрешности, но не их причины, которые здесь для нас безразличны.

Каждая звезда в каталоге характеризуется эклиптикальной широтой и долготой. В ряде исследований "Альмагеста" достоверность значений ДОЛГОТ была поставлена под серьезное сомнение. См., например, книгу Р.Ньютона [156]. Кроме того известно, что измерение долгот - дело существенно более сложное, чем измерение ШИРОТ. Для аккуратного определения долгот помимо прочего нужны хорошие часы. Поэтому есть серьезные основания считать долготы "Альмагеста" измеренными менее точно, чем широты. Наконец, поскольку долготы прецессируют со временем, то недобросовестный составитель каталога или его переписчик мог чрезвычайно легко "удревнить долготы" или, напротив, "омолодить" их, попросту добавляя к ним подходящую величину. При желании он мог, например, "поместить долготы" каталога на II век н.э.

Поэтому в своем методе мы анализировали лишь ШИРОТЫ звезд "Альмагеста". Заранее было неясно - достаточно ли широт для датировки. Оказалось, что ответ положительный. Мы утверждаем, что "Альмагест" можно датировать, используя лишь сведения о ШИРОТНЫХ невязках.

Затем, работоспособность нашего метода была подтверждена анализом звездных каталогов Т.Браге, Улугбека, Гевелия и ряда искусственно созданных нами каталогов, для чего использовался компьютер. Во всех случаях полученные нашим методом датировки каталогов совпали с заранее известными.

Предварительная работа по выявлению выбросов в "Альмагесте" во многом была уже проделана в широко известных исследованиях. См., например, [328]. Мы считали выбросами те звезды, у которых значение широтных невязок превосходило 1 градус. Кроме явных выбросов каталог содержит звезды, отождествление которых со звездами современного неба сомнительно. В упомянутой работе К.Петерса и Е.Кнобеля [328] такие случаи также отмечены. Один пример уже был приведен выше: это - звезда О² Эридана. Поэтому для исключения всех таких сомнительных случаев необходимо было очистить каталог "Альмагеста" от неоднозначно отождествляемых звезд. Мы проверили список из более чем 80 быстрых звезд из современного каталога [281]. Из них в "Альмагесте", как выяснилось, отражено около 35 звезд. Затем, при помощи компьютера мы выявили среди них звезды, имеющие неоднозначное, сомнительное отождествление. Таких звезд оказалось немного - всего три. Они были исключены из рассмотрения. Таким образом, наш анализ в основном подтвердил правильность отождествления подавляющего большинства звезд "Альмагеста", приведенного в труде [328].

Итак, если предположить, что звездный каталог составлялся в год t и истинные широта и долгота какой-либо звезды были равны b(t) и l(t) соответственно, то в результате ошибки в определении положения эклиптики, парамеризуемой g = g (t) и f = f (t), составитель каталога запишет в каталог координаты b'(t) и l'(t). С очень большой точностью можно считать, что

b'(t) = b(t) + g sin(l(t)+f ).

Последняя формула справедлива при условии, что составитель каталога не делал никакой ошибки измерений. Если ошибка присутствовала, - а она присутствовала неизбежно, - и равнялась x, то

b'(t) = b(t) + g sin(l(t)+f ) + x.

Последняя формула справедлива для всех звезд рассматриваемой совокупности, и, следовательно, можно поставить статистическую проблему оценки параметров g и fдля данной совокупности звезд. Оценки параметров g и f можно найти, например, методом наименьших квадратов, когда g и f являются решением следующей задачи:

где суммирование производится по всем звездам i из рассматриваемой совокупности, b_i, - широта i-й звезды в каталоге "Альмагеста", b_i(t), l_i(t) - истинные широта и долгота звезды i в году t.

Решением этой задачи являются параметры

f_stat(t)и g_stat(t)

задающие ошибку в определении положения эклиптики при условии, что звездный каталог был составлен в году t, а минимальное значение суммы представляет собой квадрат среднеквадратичной широтной ошибки в рассматриваемой совокупности звезд после компенсации систематической ошибки. Назовем это минимальное значение "остаточной ошибкой", то есть ошибкой, которая остается в каталоге после компенсации систематической составляющей.

Затем мы выделили следующие семь совокупностей звезд, семь областей звездного неба "Альмагеста". См. рис.1.24.

Рис.1.24: Семь областей на звездном небе "Альмагеста". Эти области характеризуются различной точностью измерений.

ОБЛАСТЬ М - это Млечный Путь.

ОБЛАСТЬ А - бо'льшая область справа от Млечного Пути, содержащая точку осеннего равноденствия и завершающаяся зо-Диаком.

ОБЛАСТЬ В - это меньшая область слева от Млечного Пути, содержащая точку весеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком.

ОБЛАСТЬ С - это южная часть неба справа от Млечного Пути, расположенная за зодиаком.

ОБЛАСТЬ D - это южная часть неба слева от Млечного Пути, расположенная за зодиаком.

ОБЛАСТЬ ZodA - это часть зодиака, попавшая в область A

ОБЛАСТЬ ZodB - это другая часть зодиака, попавшая в область В.

Область А - самая большая из них. Через Zod мы обозначили все звезды зодиака в "Альмагесте". Из рис.1.15 видно - какие именно созвездия "Альмагеста" попали в эти выделенные нами семь областей звездного неба.

Для каждой из этих совокупностей звезд были найдены графики функций

f_stat(t) и g_stat(t)

Во-вторых, принимается во внимание размер доверительной области для обнаруженных параметров f_stat(t) и g_stat(t). Так, для областей ZodA и А ширина доверительного интервала для g_stat(t) составляет всего около 10', а например, для области D - существенно больше. Кроме того, как говорилось, снижение ошибки от первоначального уровня до "остаточного" для области D незначительно. Поэтому говорить об уверенном определении систематической ошибки для этой части неба нельзя. Можно лишь утверждать, что ошибка лежит в пределах доверительной области. Но такое неточное значение систематической ошибки для данной области, - например для D, - приводит к тому, что мы не имеем права основывать наши последующие заключения на рассмотрении координат звезд из групп, обладающих подобными свойствами. Это замечание очень важное и будет нами использовано в дальнейшем. Напомним, что цена деления шкалы каталога "Альмагеста" составляет 10 минут, то есть это - "заявленная точность" каталога. Другими словами, - точность, на которую претендовал составитель каталога "Альмагеста". Другой вопрос: смог ли он реально достичь этой точности? Этот вопрос был решен нами описанным выше методом. Кроме того, таким же приемом были изучены и отдельные созвездия. Это позволило установить, что систематические ошибки в каталоге, сделанные наблюдателем для больших участков неба, в основном совпадают с систематическими ошибками, обнаруживающимися при анализе отдельных созвездий каталога "Альмагеста". Оказалось, в частности, что созвездия Рыбы, Овен, Телец, Водолей относятся к группе плохо измеренных созвездий, а Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог - к группе хорошо измеренных созвездий. Здесь мы говорим о созвездиях зодиака. Эти результаты хорошо согласуются с выводами, сделанными на основе рассмотрения больших совокупностей звезд, а именно, по несколько сотен звезд в каждой совокупности.

Далее, хотя величины f_stat и g_stat мы определяли с помощью методов математической статистики, это, вообще говоря, не дает оснований считать их систематическими ошибками. Дело в том, что они отвечают лишь "средним" отклонениям координат по всем звездам из рассматриваемой совокупности. Но это не противоречит тому случаю, когда отдельные созвездия имеют разные систематические ошибки, так что в итоге получается найденная нами выше ошибка. Расчеты показали, что отдельные зодиакальные созвездия из области ZodA имеют ОДНУ И ТУ ЖЕ погрешность g = 20'. В то же время они имеют отличающиеся друг от друга погрешности f.

Такую же погрешность g = 20' имеет и часть А звездного атласа "Альмагеста". Забегая вперед, скажем, что такую же погрешность g имеет в "Альмагесте" и совокупность именных звезд из части неба А. Мы называем именными звездами те, которые снабжены в "Альмагесте" собственными именами. Все это говорит о том, что ошибка 7 ЕДИНА ДЛЯ ВСЕХ СОЗВЕЗДИЙ ИЗ ЧАСТИ НЕБА А.

Совсем иное положение с ошибкой f. Она варьируется от созвездия к созвездию. Можно дать вполне естественное объяснение этому обнаруженному нами обстоятельству, если предположить, что координаты звезд измерялись с помощью армилляр-ной сферы. Это - стандартный средневековый и "античный" инструмент. На рис. 1.26 показана армиллярная сфера Тихо Браге.

Рис.1.26: Армиллярная сфера, принадлежавшая Тихо Браге (1546-1601) в 1598 году. Взято из [503], с.13.

Рис.1.27: Общая схема армиллярной сферы.

Рис.1.28: Параметризация систематической ошибки с помощью двух углов.

Из проведенных рассуждений следует практический вывод. А именно, мы вправе использовать, для части неба А, найденное значение g_stat в качестве систематической ошибки, содержащейся в звездном каталоге "Альмагеста". Сразу же возникает вопрос: нисколько допустимо использование одного параметра, а именно g_stat и игнорирование другого параметра, а именно f_stat? Для ответа на него удобно перейти от параметризации ошибки с помощью величин g и f к параметризации ошибки через величины взаимно перпендикулярных наклонов g и b. См. рис.1.23. Здесь g, как и прежде, означает ошибку в положении эклиптики, a b - ошибку в положении экватора. Нетрудно показать, что b приблизительно равняется fg. Здесь углы измеряются в радианах. Следовательно, если g = 20', а f = 10 градусов, то b = 3'.

Преимущество параметров g и b состоит в том, что они равноправным образом действуют на положение плоскости эклиптики. Вычисления показали, что b много меньше g. Отметим, что в реальности b не превышает 5'. Отсюда следует, что основной вклад, с точностью до 20%, в широтные невязки вносит составляющая g. Именно учет этой составляющей и положен нами в схему датирования каталога. При этом мы получаем право использовать доверительные интервалы (S_t)^g только для величины g_stat(t) что упрощает вычисления.

1) Для звезд из каталога "Альмагеста" нами обнаружена систематическая ошибка g_stat(t). Эта ошибка уверенно вычисляется для совокупностей звезд А и ZodA, содержащих большую часть северных и зодиакальных звезд каталога.

Эта ошибка может быть обнаружена методом наименьших квадратов. Значение g_stat(t) представляет собой угол поворота эклиптики относительно ее истинного положения в году t при условии, что каталог составлен в году t. Для величины g_stat(t) находится также доверительный интервал S_g, смысл которого следующий. Истинное значение g_stat(t) лежит в этом интервале с вероятностью не меньше р. В нашей работе было принято значение р = 0.998. Итогом является построение кривой g_stat(t) и соответствующей доверительной полосы. См. рис.1.29.

Рис.1.29: Кривая, представляющая угол поворота эклиптики относительно ее истинного положения в году t при условии, что каталог составлен в году t

2) Проведенный статистический анализ позволяет утверждать, что гипотеза о том, что в каталоге "Альмагеста" присутствует единая систематическая ошибка, не может быть отвергнута. Именно доверительные области для найденных значений g_stat(t) Для всех рассмотренных совокупностей звезд, - как больших, так и малых, - имеют непустое пересечение, содержащее значения g_stat(t), определенные для совокупностей звезд А и ZodA.

5) Ошибка f_stat(t) не является "единой" для всех созвездий и, таким образом, не может считаться систематической. Однако ее влияние на широтные невязки звезд много меньше влияния ошибки g.

Рассмотрим при каждом t доверительное множество S_t , найденное на этапе определения систематических ошибок. Найдем подмножество E_t, содержащееся в S_t и обладающее следующим свойством. Если величина g такова, что g принадлежит E_t, то при компенсации этой систематической ошибки широтные невязки выбранных именных звезд становятся меньше 10 минут. Тогда совокупность всех моментов времени t, таких что подмножество E_t не пусто, дает нам все возможные даты составления каталога. Тем самым, мы находим интервал возможных датировок каталога. Рис.1.30 иллюстрирует данный метод.

Рис.1.30: Последний шаг: нахождение интервала возможных датировок для исследуемого звездного каталога.